Lokal gewichtete Regression (LOESS)
Methode zur Glättung von Daten, bei der lokale Werte mit Gewichtung zu einer Kurve verbunden werden.
Die lokal gewichtete Regression, kurz LOESS (englisch: locally estimated scatterplot smoothing), ist ein statistisches Verfahren, mit dem man aus vielen einzelnen Datenpunkten eine glatte, gut lesbare Kurve erstellen kann. In der Meteorologie hilft dieses Verfahren dabei, aus stark schwankenden Messdaten den eigentlichen Trend oder Verlauf sichtbar zu machen.
Das Grundproblem: Daten mit "Rauschen"
Wenn Meteorologen Messungen durchführen – etwa die Temperatur über viele Jahre hinweg –, entsteht meist eine Punktwolke (englisch: scatterplot). Das ist eine Ansammlung vieler einzelner Messwerte, die auf den ersten Blick chaotisch wirken kann. Diese Schwankungen nennt man Rauschen (englisch: noise). Das Rauschen entsteht durch zufällige Einflüsse wie einzelne Wetterereignisse, Messungenauigkeiten oder kurzfristige Schwankungen.
Das Ziel von LOESS ist es, das Rauschen herauszufiltern und den zugrundeliegenden Trend klar darzustellen.
Wie funktioniert LOESS?
Der zentrale Gedanke ist, dass die Kurve nicht auf einmal für alle Daten berechnet wird, sondern Stück für Stück (also lokal). Für jeden Punkt der Kurve geschieht Folgendes:
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Auswahl der Nachbarn: Es wird ein Bereich (ein "Fenster") um den betrachteten Punkt herum ausgewählt. Nur die Datenpunkte in diesem Fenster werden berücksichtigt.
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Gewichtung: Datenpunkte, die nahe am betrachteten Punkt liegen, bekommen ein hohes Gewicht. Weit entfernte Punkte bekommen ein niedriges Gewicht. Das bedeutet: Nahe Werte beeinflussen die Kurve stärker als entfernte. Diese Gewichtung wird oft mit der sogenannten Tricube-Funktion berechnet:
$$w(x) = \left(1 - |x|^3\right)^3$$
Dabei ist $x$ der auf die Fenstergrösse normierte Abstand zum betrachteten Punkt.
- Lokale Regression: Durch die gewichteten Punkte wird eine einfache Kurve (meist eine Gerade oder Parabel) gelegt. Der berechnete Wert an dieser Stelle wird zum Punkt auf der glatten Gesamtkurve.
Wiederholt man diesen Vorgang für viele Stellen und verbindet die Ergebnisse, entsteht eine weiche, geglättete Linie.
Der Glättungsparameter
Ein wichtiger Regler bei LOESS ist der Glättungsparameter (auch span genannt). Er bestimmt, wie gross das Fenster ist:
- Grosses Fenster: Die Kurve wird sehr glatt, kann aber feine Details verlieren.
- Kleines Fenster: Die Kurve folgt den Daten genauer, kann aber wieder "unruhiger" werden.
Die richtige Wahl ist ein Kompromiss und hängt vom Ziel der Untersuchung ab.
Beispiele aus der Meteorologie
LOESS wird in der Meteorologie häufig eingesetzt:
- Klimatrends: Bei der Analyse der globalen Mitteltemperatur über 150 Jahre schwanken die Jahreswerte stark. LOESS zeigt den langfristigen Erwärmungstrend deutlich.
- Jahresgang der Temperatur: Aus täglichen Messwerten lässt sich ein glatter Verlauf über das Jahr darstellen, der den typischen Wechsel der Jahreszeiten zeigt.
- Niederschlagsdaten: Auch hier hilft LOESS, langfristige Muster von zufälligen Einzelereignissen zu unterscheiden.
Zusammenhang mit anderen Konzepten
LOESS gehört zur Familie der Regressionsverfahren. Im Gegensatz zur linearen Regression, die eine einzige gerade Linie durch alle Daten legt, ist LOESS flexibler und kann auch gekrümmte, komplexe Verläufe erfassen. Verwandt ist LOESS zudem mit dem gleitenden Mittelwert (englisch: moving average), einem einfacheren Glättungsverfahren. LOESS liefert jedoch meist genauere und weichere Ergebnisse, weil es die Gewichtung der Nachbarpunkte berücksichtigt.